Размер шрифта
Цвета сайта
Изображения

Обычная версия сайта

Что это цилиндр


Цилиндр — урок. Геометрия, 11 класс.

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Прямоугольник AOO1A1 вращается вокруг стороны OO1.OO1 — ось симметрии цилиндра и высота цилиндра.AA1 — образующая цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра.\(AO\) — радиус цилиндра.

Полученная цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т. е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра OO1.

ABB1A1 — прямоугольник.\(OA = OB = R\) — радиусы.

\(OC\) — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.Дуга \(AB\) равна центральному углу \(AOB\).

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию, в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.

Если представить, что боковая цилиндрическая поверхность разрезана по образующей AA1 и развёрнута, получаем прямоугольник.

Сторона AA1 равна высоте \(H\), а другую сторону образует развёрнутая окружность основания длиной 2πR.

Так как развёртка — прямоугольник, то боковая поверхность определяется по формуле:

Sбок.=2πR⋅H.

Основания цилиндра — два круга с общей площадью 2⋅πR2.

Полная поверхность цилиндра определяется по формуле:

Sполн.=2πRH+2πR2=2πR⋅H+R.

Page 2
Page 3
Page 4
Page 5

www.yaklass.ru

Цилиндр - это... Что такое Цилиндр?

Прямой круговой цилиндр

Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Другие виды цилиндра — (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.

Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.

Сечения (сечение плоскостью) Результат пересечения цилиндров

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

К вычислению площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

, и

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма, к сожалению, не существует.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:

Объём цилиндра

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

  • Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. ,
  • Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): ,
где  — длина образующей, а  — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .

Для прямого цилиндра , и , и объём равен:

Для кругового цилиндра:

где d — диаметр основания.

Примечания

dic.academic.ru

Цилиндр. Формулы и свойства цилиндра

Определение.

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основами цилиндра).

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.

Основания цилиндра - плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность, а основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Прямой круговой цилиндр можно описать, как объёмного фигуру, образующуюся вращением прямоугольника вокруг своей стороны на 360°.

Определение. Радиус цилиндра r - это радиус основания цилиндра.

Определение. Диаметр цилиндра d - это диаметр основания цилиндра.

Определение. Высота цилиндра h - это расстояние между основаниями цилиндра.

Определение. Ось цилиндра - это прямая O1O2, которая проходит через центры оснований цилиндра.

Определение. Поверхность цилиндра состоит из цилиндрической поверхности и оснований цилиндра.

Определение. Осевое сечение цилиндра - это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Определение. Касательная плоскость к цилиндру - это плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и перпендикулярно к осевому сечении цилиндра.

Формула. Объём цилиндра: где r - радиус основы, h - высота цилиндра, d - диаметр основы. Формула. Площадь ,боковой поверхности цилиндра:

Sb = 2πrh = πdh

Формула. Полная площадь поверхности цилиндра:

S = 2πr(h + r)

Косой цилиндр - цилиндр, основы которого не параллельны (Рис.2)

Наклонный цилиндр - цилиндр, у которого образующие не перпендикулярно основам цилиндра (Рис.3 - наклонный круговой цилиндр).

ru.onlinemschool.com

Цилиндр

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит их двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра. Эти отрезки образуют цилиндрическую поверхность, являющуюся боковой поверхностью цилиндра.

Если основаниями цилиндра не являются круги, то цилиндр может быть эллиптическим. Обычно, такие виды цилиндра в элементарной геометрии не рассматриваются.

Альтернативное определение.

Цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями.

Полная поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны к плоскости оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить как тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг стороны как оси.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры основания. Она параллельна образующим.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две стороны его – образующие цилиндра, а две другие – параллельные хорды оснований. Осевое сечение цилиндра – это сечение плоскостью, проходящей через его ось.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту Н:

Если у цилиндра известны только площадь основания и образующая, то объем такого цилиндра будет равен произведению площади основания на образующую и синус угла между основанием и образующей [2].

Для цилиндра, в основании которого лежит круг, объем цилиндра будет равен площади круга на высоту [3][4].

Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра с радиусом R основания и высотой Н

Содержание главы:

  • Задачи про цилиндр со вписанной призмой
  • Цилиндр и его сечения (квадрат и вписанный куб)
  • Площадь поверхности цилиндра

0  

 Соотношение объема шара и конуса | Описание курса | Задачи про цилиндр со вписанной призмой 

profmeter.com.ua

Цилиндр (геометрия) - это... Что такое Цилиндр (геометрия)?

Правильный круглый цилиндр

Эллиптический цилиндр

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром, ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром. Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра.

Конечное тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя выделившими её сечениями, называется конечным цилиндром, или собственно цилиндром. Сечения называются основаниями цилиндра. По определению конечной цилиндрической поверхности, основания цилиндра равны.

Очевидно, образующие боковой поверхности цилиндра — равные по длине (называемой высотой цилиндра) отрезки, лежащие на параллельных прямых, а концами лежащие на основаниях цилиндра. К математическим курьёзам относят определение любой конечной трёхмерной поверхности без самопересечений как цилиндра нулевой высоты (данную поверхность считают одновременно обоими основаниями конечного цилиндра). Основания цилиндра качественно влияют на цилиндр.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра — круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс — то эллиптическом.

Объём конечного цилиндра равен интегралу площади основания по образующей. В частности, объём прямого кругового цилиндра равен

,

(где — радиус основания, — высота).

Площадь боковой поверхности цилиндра считается по следующей формуле:

.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Цилиндр

Круговой цилиндр - это тело, которое состоит из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Основания кругового цилиндра - круги.

Образующие - это отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов.

Прямой круговой цилиндр (или просто цилиндр) - это круговой цилиндр, образующие которого перпендикулярны основаниям.

! Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг его стороны.

Радиус цилиндра - радиус его оснований.

Высота цилиндра - расстояние между плоскостями оснований.

Ось цилиндра - прямая, проходящая через центры оснований,

Равносторонний цилиндр - цилиндр, у которого высота равна диаметру основания (h = 2R).

  • а
  • б
  • в
  • г
  • д
  • е
  • з
  • и
  • к
  • л
  • м
  • н
  • о
  • п
  • р
  • с
  • т
  • у
  • ф
  • х
  • ц
  • ч
  • э
© 2019 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

formula-xyz.ru


Смотрите также

 

2011-2017 © МБУЗ ГКП №  7, г.Челябинск.